题目内容

如图，已知直线y= $数学公式$ x，点A的坐标是（4，0），点D为x轴上位于点A右边的某一点，点B为直线y= $数学公式$ x上的一点，以点A、B、D为顶点作正方形．
（1）若图①仅看作符合条件的一种情况，求出所有符合条件的点D的坐标；
（2）在图①中，若点P以每秒1个单位长度的速度沿直线y= $数学公式$ x从点O移动到点B，与此同时点Q以相同的速度从点A出发沿着折线A-B-C移动，当点P到达点B时两点停止运动．设点P运动时间为t，试探究：在移动过程中，△PAQ的面积关于t的函数关系式，并求最大值是多少？

解：（1）如图，

点D的坐标可以为（7，0）或（16，0）或（28，0）；
（2）①当0＜t≤3时，如图，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E．
AQ=OP=t，OE= $\text{[math]}$ t，AE=4- $\text{[math]}$ t．
S_△APQ= $\text{[math]}$ AQ•AE= $\text{[math]}$ t（4- $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$

当t= $\text{[math]}$ 时，S_△APQ的最大值为 $\text{[math]}$ ．
②当3＜t≤5时，如图，
过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，过点Q作QF⊥x轴，垂足为点F．
OP=t，PE= $\text{[math]}$ t，OE= $\text{[math]}$ t，AE=4- $\text{[math]}$ t．
QF=3，AF=BQ=t-3，EF=AE+AF=1+ $\text{[math]}$ t
S_△APQ=S _梯形PEFQ-S_△PEA-S_△QFA
$\text{[math]}$ ，由于对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，故当x=5时，S_△APQ的最大值为3．
综上所述，S_△APQ的最大值为3．
分析：（1）分情况探讨：点D在x轴上，为正方形的一边或为正方形的对角线；
（2）因为AB之间的距离是 $\text{[math]}$ =5，从点O移动到点B的时间最大为5秒，结合Q以相同的速度从点A出发沿着折线A-B-C移动，分两种情况：当点Q与点B重合；点B随着点P的停止而停止；确定t的取值范围，利用面积得出二次函数解决问题．
点评：此题综合考查了一次函数，二次函数最值问题，并渗透分类讨论思想．