Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若∠A=60°，BE=3，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由角平分线的性质可得：DE=DF，然后由HL可证△BED≌△CFD，由全等三角形的对应角相等可得：∠B=∠C，然后由等角对等边可得：AB=AC，即可证：△ABC是等腰三角形．
（2）由△ABC是等腰三角形及∠A=60°，可证△ABC是等边三角形，所以要求△ABC的周长，只需求出BC的长，然后乘以3即可，由∠B=60°，可得∠BDE=30°，然后由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得BD=2BE=6，最后由点D是BC的中点，即可求BC的长度，从而求出△ABC的周长．

解答：（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，
在Rt△BDE中，∵∠BDE=30°，
∴BD=2BE，
∵BE=3，点D是BC的中点，
∴BC=2BD=4BE=12，
∴△ABC的周长=3BC=36．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键．