Question

已知，如图1，?ABCD中，∠BCD与∠ABC的平分线相交于点E，并与AD边相交点F，G．

（1）求证：∠BEC=90°；
（2）当点E，F，G三点重合时（图2），求

BC

AB

的值；
（3）设△BEC的面积为S₁，?ABCD的面积为S₂．当

BC

AB

=3时（图3），求

S1

S2

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据BE平分∠ABC，CE平分∠BCD可知∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，再根据四边形ABCD是平行四边形可知∠ABC+∠BCD=180°，即2（∠1+∠2）=∠ABC+∠BCD=180°，进而可得出结论；
（2）由BE平分∠ABC，可知∠1=∠3，再根据四边形ABCD可知AD∥BC，∠1=∠5，∠3=∠5，故可得出AB=AE，同理可证，DC=DE，再由平行四边形的性质即可得出结论；
（3）由（1）（2）可知，在图2中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，设AB=CD=x，依题意，BC=AD=3x，AG=DF=x，故可得出GF=3x-2x=x，
作EN⊥BC，交BC于N，交AD于M，则ME=EN-MN，由AD∥BC可得出△EBC∽△EFG，根据相似三角形的性质即可得出结论．

解答：解：（1）在图1，图2，图3中，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠ABC=2∠1，∠BCD=2∠2，
∵?ABCD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴2（∠1+∠2）=∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠BEC=90°；


（2）图2中，∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠3，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠5，
∴∠3=∠5，
∴AB=AE，
同理可证，DC=DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，BC=AD，
∴BC=2AB，
∴

BC

AB

=2；

（3）在图3中，
由（1）（2）可知，在图2中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，
设AB=CD=x，依题意，BC=AD=3x，AG=DF=x，
∴GF=3x-2x=x，
作EN⊥BC，交BC于N，交AD于M，
则ME=EN-MN，
∵AD∥BC，
∴△EBC∽△EFG，
∴

BC

FG

=

EN

EM

=3，
∴

EN

EN-MN

=3，

EN

MN

=

3

2

，
∴

S 1

S2

=

1 2 BC×EN

BC×MN

=

EN

2MN

=

1

2

×

3

2

=

3

4

．
[方法II]由（1）（2）可知，在图4中，∠BEC=90°，AB=AG，CD=DF，
设AB=CD=x，依题意，BC=AD=3x，AG=DF=x，
∴GF=3x-2x=x，
作GI∥AB交BC于I，作FJ∥AB交BC于J，
易证菱形ABIG，菱形GIJF，菱形FJCD，
且这三个菱形等底等高，
因而三个菱形的面积相等．
设三个菱形的面积均为S，则S₂=3S，
∵BG为菱形ABIG的对角线，CF为菱形DCJF的对角线，
∴S_△BIG=S_△CEJ=

1

2

S
∴S_梯形FGBC=2S，
∴S_梯形FGBC=

2

3

S₂，
∵AD∥BC，
∴△EBC∽△EFG，
∴

S1

S△EFG

=(

BC

FG

)2=9，
∴

S1

S梯形FGBC

=(

BC

FG

)2=

9

8

，
∴

S1

2 3 S2

=

9

8

，
∴

S1

S2

=

9

8

×

2

3

=

3

4

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等相关知识，涉及面较广，难度较大．