Question

如图，平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在直线AD上截取AF=2FD，连接EF，EF交AC于G．求AG：AC．

Answer 1

分析：本题分两种情况讨论：
（1）F在线段AD上，如图1，根据平行线分线段成比例定理，可得

AF

FD

=

AH

HC

=2，且 

AF

AD

=

FH

DC

=

2

3

，可得AH=2HC，FH=

2

3

CD，AE=

1

2

AB=

1

2

CD，则可得

AG

GH

=

AE

FH

，代入整理，可得

AG

GH

=

3

4

，GH=

4

3

AG，所以可得AH=2HC，AG=

6

7

HC，即可得出；
（2）F在AD的延长线上，如图2；在△AFH中，

AD

DF

=

AC

CH

=

1

1

且

AD

AF

=

CD

FH

=

1

2

，则AC=CH，FH=2CD，又由FH∥AB，可得

AG

GH

=

AE

FH

=

1 2 CD

2CD

=

1

4

，即GH=4AG，所以AH=AG+GH=5AG=2AC，即可得出．

解答：解：有两种情况：
第一种情况：F在线段AD上，如图1，
过点F作FH∥DC，交AC于点H，
∵AF=2FD，
∴在△ADC中，

AF

FD

=

AH

HC

=2，且 

AF

AD

=

FH

DC

=

2

3

，
∴AH=2HC…①，FH=

2

3

CD…②，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD…③，
又∵平行四边形ABCD，AB∥CD且AB=CD，
∴FH∥AB，
∴

AG

GH

=

AE

FH

…④，
②③代入④得

AG

GH

=

3

4

，
∴GH=

4

3

AG，
∴AH=AG+GH=

7

3

AG=2HC，
∴AG=

6

7

HC，
∵AC=AH+HC=3HC，
∴AG：AC=

2

7

；

第二种情况：F在AD的延长线上，如图（2），
过点F作FH∥DC，交AC的延长线于点H，
∵AF=2FD
∴在△AFH中，

AD

DF

=

AC

CH

=

1

1

且

AD

AF

=

CD

FH

=

1

2

，
∴AC=CH，FH=2CD，
∵AE=

1

2

AB=

1

2

CD，
又∵FH∥AB，
∴

AG

GH

=

AE

FH

=

1 2 CD

2CD

=

1

4

，
∴GH=4AG，
∴AH=AG+GH=5AG=2AC，
∴AG=

2

5

AC，
∴AG：AC=

2

5

．

点评：本题主要考查了平分线分线段成比例定理和平行线四边形的性质，考查了学生对平行线分线段成比例定理的理解和综合应用能力．