Question

如图，以点M（5，3）为圆心的⊙M切y轴于点A，与x轴交于B（1，0），C两点（点B在点C的左侧），直线l过圆心M且垂直于y轴，点P是直线l上的一个动点，如果△PAB的周长最小，那么此时点P的坐标是

（5，

4

3

）

．

Answer 1

分析：连接AM，由切线的性质可知，AM⊥y轴，根据M点的坐标可求出AM及MD的长，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则线段A′B的长即为△PAB的最小周长，再用待定系数法求出直线A′B的解析式，得出此直线与直线l的交点坐标即可．

解答：解：连接AM，
∵⊙M切y轴于点A，
∴AM⊥y轴，
∵M（5，3），l⊥x轴，
∴AM=5，MD=3，直线l的解析式为l=5，
作点A关于直线l的对称点A′，则A′（10，3），连接A′B，则线段A′B的长即为△PAB的最小周长，
设过点A′、B的直线解析式为y=kx+b（k≠0），则

10k+b=3 k+b=0

，解得

k= 1 3 b=- 1 3

，
∴此直线的解析式为：y=

1

3

x-

1

3

，
∴当x=5时，y=

1

3

×5-

1

3

=

4

3

，
∴点P的坐标是（5，

4

3

）．
故答案为：（5，

4

3

）．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”的知识是解答此题的关键．