Question

已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设a=PM•PE，b=PN•PF，解答下列问题：
（1）当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断a与b的大小关系，并说明理由；
（2）当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，（1）中的结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设

BP

PD

=k，是否存在这样的实数k，使得

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

4

9

？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当四边形ABCD是矩形时，对角线BD把矩形ABCD分成两个全等三角形，即S_△ABD=S_△BCD，又MN∥AD，EF∥CD，所以四边形MBFP和四边形PFCN均为矩形，即S_△MBF=S_△BFP，S_△EPD=S_△NPD，根据求差法，可知S_{四边形AMPE}=S_{四边形PFCNA}，即a=b；
（2）（1）的方法同时也适用于第二问；
（3）由（1）（2）可知，任意一条过平行四边形对角线交点的直线将把平行四边形分成面积相等的两部分，利用面积之间的关系即可解答．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴MN∥AD，EF∥CD，
∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形，
∴a=PM•PE=S_矩形PEAM，b=PN•PF=S_矩形PNCF，
又∵BD是对角线，
∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC，
∵S_矩形PEAM=S_△BDA-S_△PMB-S_△PDE，
S_矩形PNCF=S_△DBC-S_△BFP-S_△DPN，
∴S_矩形PEAM=S_矩形PNCF，
∴a=b；

（2）成立，理由如下：
∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD
∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形
根据（1）可证S_{平行四边形PEAM}=S_{平行四边形PNCF}，
过E作EH⊥MN于点H，
则sin∠MPE=

EH

PE

EH=PE•sin∠MPE，
∴S_?PEAM=PM•EH=PM•PEsin∠MPE，
同理可得S_?PNCF=PN•PFsin∠FPN，
又∵∠MPE=∠FPN=∠A，
∴sin∠MPE=sin∠FPN，
∴PM•PE=PN•PF，
即a=b；

（3）方法1：存在，理由如下：
由（2）可知S_?PEAM=AE•AMsinA，S_?ABCD=AD•ABsinA，
∴

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

2S平行四边形PEAM

2S△ABD

=

2S平行四边形PEAM

S平行四边形ABCD

=

2AE•AMsinA

AD•ABsinA

=2•

AE

AD

•

AM

AB

，
又∵

BP

PD

=k，即

BP

BD

=

k

k+1

，

PD

BD

=

1

k+1

，
而

AE

AD

=

BP

BD

=

k

k+1

，

AM

AB

=

PD

BD

=

1

k+1

，
∴2×

k

k+1

×

1

k+1

=

4

9

即2k²-5k+2=0，
∴k₁=2，k2=

1

2

．
故存在实数k=2或

1

2

，使得

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

4

9

；
方法2：存在，理由如下：
连接AP，设△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄，即

S1

S2

=

BM

AM

=

BP

PD

，

S3

S4

=

AE

DE

=

BP

PD

（8分）
即

S1=kS2 S3=kS4 S2=S3

∴

S1=k2S4 S2=S3=kS4

∴

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

S2+S3

S1+S2+S3+S4

=

4

9

即

2kS4

(k2+2k+1)S4

=

4

9

∴2k²-5k+2=0（9分）
∴k₁=2，k2=

1

2

故存在实数k=2或

1

2

，使得

S平行四边形PEAM

S△ABD

=

4

9

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，在实际中的应用，难易程度适中．