Question

锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=

 

，公共部分面积y最大，y最大值=

 

．

Answer 1

分析：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．为正方形时可求出面积的值，为矩形时需求面积表达式再求最大值．

解答：解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．
（1）求公共部分是正方形时的面积，
作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
∵MN∥BC，
∴

MN

BC

=

AE

AD

即

x

6

=

4-x

4

，
解得x=2.4，
此时面积y=2.4²=5.76．

（2）当公共部分是矩形时如图所示：
设DE=a，根据

MN

BC

=

AE

AD

得

x

6

=

4-a

4

，
所以a=4-

2

3

x，公共部分的面积y=x（4-

2

3

x）=-

2

3

x²+4x，
∵-

2

3

＜0，
∴y有最大值，
当x=-

4

2×(- 2 3 )

=3时，y_最大值=

-42

4×(- 2 3 )

=6．
综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．

点评：此题需分类讨论，综合比较后得结论．