Question

对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x²-（n+2）x-2n²=0的两个根记作a_n，b_n（n≥2），则

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

+…+

1

(a2007-2)(b2007-2)

=

 

．

Answer 1

分析：由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2n(n+1)

=-

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，然后代入即可求解．

解答：解：由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，
所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），
则

1

(an-2)(bn-2)

=-

1

2n(n+1)

=-

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

1

(a2-2)(b2-2)

+

1

(a3-2)(b3-2)

++

1

(a2007-2)(b2007-2)

，
=-

1

2

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

2007

-

1

2008

)]=-

1

2

(

1

2

-

1

2008

)=-

1003

4016

．
故答案为：-

1003

4016

．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．