Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于O，∠ABD=30°，AC⊥BC，AB=8cm，则△COD的面积为

4

3

3

．

Answer 1

分析：由在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，易证得△ABD≌△BAC，即可求得∠OBC=30°，OA=OB，又由△OCD∽△OAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OC：OA=OD：OB=1：2，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

解答：解：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，AC=BD，
在△ABD和△BAC中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=BA

，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠CAB=∠ABD=30°，
∵AC⊥BC，
∴∠DAB=∠CBA=60°，
∴∠OBC=30°，∠OAB=∠OBA=30°，
∴OA=OB，
在Rt△OBC中，

OC

OB

=sin30°=

1

2

，
∴OC：OA=1：2，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴OC：OA=OD：OB=1：2，
在Rt△ABC中，BC=

1

2

AB=4cm，AC=

AB2-BC2

=4

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=8

3

，
∴S_△BOC=

1

3

S_△ABC=

8

3

3

，
∴S_△OCD=

1

2

S_△OBC=

4

3

3

．
故答案为：

4

3

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．