Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为A(2，)，抛线物与y轴交于点B(0，)，点C在其对称轴上且位于点A下方，将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段AC的长；

(3)将抛物线平移，使其顶点A移到原点O的位置，这时点P落在点D的位置，如果点M在y轴上，且以O，C，D，M为顶点的四边形的面积为8，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣(x﹣2)2+；(2)2；(3)M点的坐标为(0，)或(0，﹣)

【解析】

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+，将点B坐标代入可求a的值，即可求解；
（2）设AC=t，则点C（2，-t），利用参数t表示点P坐标，代入解析式可求解；
（3）由平移的性质可求点D坐标，由面积公式可求解．

解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣2)2+，

∵抛线物与y轴交于点B(0，)，

∴＝a(0﹣2)2+，

∴a＝﹣

∴物线的解析式为：y＝﹣(x﹣2)2+；

(2)∵顶点A(2，)，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

∴设AC＝t，则点C(2，﹣t)，

∵将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．

∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，

∴点P(2+t，﹣t)，

∵点P在抛物线上，

∴﹣t＝﹣(2+t﹣2)2+，

∴t1＝0(不合题意舍去)，t2＝2，

∴线段AC的长为2；

(3)∵AC＝2，P点坐标为(4，)，C点坐标为(2，)，

∵抛物线平移，使其顶点A(2，)移到原点O的位置，

∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，

而P点(4，)向左平移2个单位，向下平移个单位得到点D，

∴D点坐标为(2，﹣2)，

设M(0，m)，

当m＞0时，(m++2)2＝8，解得m＝，此时M点坐标为(0，)；

当m＜0时，(﹣m++2)2＝8，解得m＝﹣，此时M点坐标为(0，﹣)；

综上所述，M点的坐标为(0，)或(0，﹣)．