Question

12．矩形ABCD，AB=2，BC=$\sqrt{3}$，P是对角线BD上动点，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

分析 连接AC，将△BPC顺时针旋转60°至△BEF，作出相应辅助线，让条件集中；要使PA+PB+PC最小只要AP，PE，EF在同一直线上，从而求得PA+PB+PC的最小值．

解答 解：如图所示，P是矩形ABCD对角线BD上一点
将△BPC顺时针旋转60°至△BEF

则PC=EF；BE=PB；∠PBE=60°
∴△PBE是等边三角形
∴PB=PE
∴PA+PB+PC=PA+PE+EF
∴要使PA+PB+PC最小只要AP，PE，EF在同一直线上，
如图：可得最小P′A+P′B+P′C=AP′+P′E′+E′F=AF．
作FG⊥AB延长线于G
∴∠CBF=∠P′BE′=60°
∴∠ABF=90°+60°=150°；∴∠GBF=30°
∵△P′BC≌△E′BF
∴BF=BC=$\sqrt{3}$
∴BG=BF•cos30°=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$；GF=BF•sin30°=$\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴AG=AB+BG=2+$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$
∴AF=$\sqrt{A{G}^{2}+G{F}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∴PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{13}$

点评 本题考查了最短路线问题，巧用旋转，作出辅助线是解题的关键，难度较大．