Question

如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．
（1）CD的长为______．
（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？
（3）在（2）的条件下，点Q同时从点B出发，以每秒4个单位的速度沿着边BA、AD向点D运动，当点Q到达终点时两点同时停止运动．是否存在某一时刻t，使得以点P、Q、D、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=6，AB=DE=4，
∴CE=BC-BE=BC-AD=9-6=3，
在Rt△DEC中，DE=4，CE=3，AB==5，
故答案为：5；

（2）由题意得PC=9-t，PE=6-t．
当CD=CP时，5=9-t，解得t=4；
当CD=PD时，E为PC中点，
则6-t=3，
解得t=3；
当PD=PC时，PD²=PC²，
则（6-t）²+4²=（9-t）²，解得t=；

（3）显然，当点Q在AB上时，以点P、Q、D、C为顶点的四边形不可能是平行四边形；
当点Q在AD上时，1≤t＜．
若四边形PQDC为平行四边形，则PC=DQ．
则9-t=10-4t，解得t=（不合题意，舍去）．
故不存在某一时刻t，使得以点P、Q、D、C为顶点的四边形是平行四边形．
当3≤t＜时，在整个运动过程中，始终存在某一时刻，使四边形PQDC为平行四边形．
分析：（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，则四边形ABED是矩形，所以AD=BE，AB=DE，在Rt△DEC中利用勾股定理即可求出CD的长；
（2）由题意得PC=9-t，PE=6-t，因为△PDC是等腰三角形所以CD=CP或CD=PD或PD=PC，在三种情况下分别求出t的值即可；
（3）存在某一时刻t，使得以点P、Q、D、C为顶点的四边形是平行四边，显然当点Q在AB上时，以点P、Q、D、C为顶点的四边形不可能是平行四边形；所以当点Q在AD上时若若四边形PQDC为平行四边形，则PC=DQ．由此可求出时间t的值，而当3≤t＜时，在整个运动过程中，始终存在某一时刻，使四边形PQDC为平行四边形．
点评：本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质和平行四边形的判定和性质，题目的综合性不小，难度中等．