Question

某校开展的一次动漫设计大赛，杨帆同学运用了数学知识进行了富有创意的图案设计，如图（1），他在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于点F、G，制作如图（2）的图标，请我计算一下图案中阴影图形的面积．

Answer 1

分析：首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG，即可求得阴影图形的面积．

解答：解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，
∵在边长为1的正方形ABCD内作等边△BCE，
∴AB=BC=CD=AD=BE=EC=1，∠ECB=60°，∠ODC=45°，
∴S_△BEC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_正方形=AB²=1，
设GN=x，
∵∠NDG=∠NGD=45°，∠NCG=30°，
∴DN=NG=x，CN=

3

NG=

3

x，
∴x+

3

x=1，
解得：x=

3 -1

2

，
∴S_△CGD=

1

2

CD•GN=

1

2

×1×

3 -1

2

=

3 -1

4

，
同理：S_△ABF=

3 -1

4

，
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△ABF-S_△BCE-S_△CDG=1-

3 -1

4

-

3

4

-

3 -1

4

=

6-3 3

4

．

点评：此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．