题目内容

如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，在此直角坐标系中画直线y=kx+2，若直线y=kx+2与⊙O相切，则k=________．

- $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：可设直线y=kx+2与x轴的交点坐标为B（a，0），根据勾股定理可用a表示出AB的长，再根据切线的性质和三角形的面积得到关于a的方程，解方程即可求得B点坐标，代入得到直线y=kx+2，得到关于k的方程，求解即可．
解答：

解：如图，过O点作OC⊥AB于C．
设直线y=kx+2与x轴的交点坐标为B（a，0），依题意有
OA=2，OB=|a|，
则AB= $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ×2×|a|= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ ，
解得a=± $\text{[math]}$ ，
当a= $\text{[math]}$ 时，把B（ $\text{[math]}$ ，0）代入y=kx+2，得 $\text{[math]}$ k+2=0，解得k=- $\text{[math]}$ ；
当a=- $\text{[math]}$ 时，把B（- $\text{[math]}$ ，0）代入y=kx+2，得- $\text{[math]}$ k+2=0，解得k= $\text{[math]}$ ．
故k=- $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
故答案为：- $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题涉及的知识点有直线与坐标轴的交点坐标，勾股定理的应用，切线的性质和三角形的面积，解方程，综合性较强，注意分两种情况讨论求解．