Question

如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求点E的坐标；
（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出AB=AE，再求出DE=5，即可求出点E的坐标．
（2）本题需先求出CP=CB=2，即可求出t的值．
（3）本题需先证出△BCP∽△BAE，求出AE=

3

2

t，再证出△POE∽△PCB，求出t的值，再求出OP的长，即可求出P的坐标．

解答：解：（1）当t=2时，PC=2，
∵BC=2，
∴PC=BC，
∴∠PBC=45°，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=45°，
∴AB=AE=3，

∴OE=5

，
∴点E的坐标是（5，0）；

（2）当AB平分∠EBP时，
∠PBF=45°，
则∠CBP=∠CPB=45°，

∴CP=CB=2

，
∴t=2；

（3）存在，
∵∠ABE+∠ABP=90°，
∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠ABE=∠PBC，
∵∠BAE=∠BCP=90°，
∴△BCP∽△BAE，
∴

BC

AB

=

PC

AE

，
∴

t

AE

=

2

3

，
∴AE=

3

2

t，
∵若△POE∽△PCB，
∴

BC

OE

=

PC

PO

，
∴

2

2+ 3 2 t

=

t

3-t

，
∴t₁=

-4+2 13

3

，
t₂=

-4-2 13

3

（舍去），
∴P的坐标为（0，

13-2 13

3

）．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，在解题时要根据已知条件再结合图形是解题的关键，这是一道好题．