Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，若AB=5，AC=8，BD=6．
（1）求证：AC⊥BD．
（2）求证：平行四边形ABCD是菱形．
（3）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用平行四边形的性质可得：AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，进而得到AO、BO的长度，再利用勾股定理逆定理证明AC⊥BD即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定即可；
（3）根据菱形的面积公式：对角线之积的一半进行计算即可．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=

1

2

AC，BO=

1

2

BD，
∵AC=8，BD=6，
∴AO=4，BO=3，
∵3²+4²=5²，
∴AO²+BO²=AB²，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD；

（2）∵CA⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（3）四边形ABCD的面积为：

1

2

AC•BD=

1

2

×8×6=24．

点评：此题主要考查了勾股定理逆定理，平行四边形的性质，以及菱形的判定和面积公式，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．