Question

如图：已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积是四边形以PABQ的面积

1

3

时，求CP的长．
（2）当△PQC的周长与四边形以PABQ的周长相等时，求CP的长．

Answer 1

分析：（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形以PABQ的面积

1

3

时，△CPQ与△CAB的面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；
（2）由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形ABQP的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．

解答：解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S_△PQC=

1

3

S_{四边形PABQ}，
∴S_△PQC：S_△ABC=1：4，
∴

CP

CA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=

1

2

CA=2；

（2）∵△PQC∽△ABC，
∴

CP

CA

=

CQ

CB

=

PQ

AB

，
∴

CP

4

=

CQ

3

，
∴CQ=

3

4

CP，
同理：PQ=

5

4

CP，
∴l_△PCQ=CP+PQ+CQ=CP+

5

4

CP+

3

4

CP=3CP，
l_{四边形PABQ}=PA+AB+BQ+PQ
=4-CP+AB+3-CQ+PQ
=4-CP+5+3-

3

4

CP+

5

4

CP
=12-

1

2

CP，
∴12-

1

2

CP=3CP，
∴

7

2

CP=12，
∴CP=

24

7

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．根据相似三角形得出线段的比例关系是解题的关键．