Question

已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是

AD

的中点．
（1）在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
（2）若CD=4cm，求AP+PB的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接OB′，B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．

解答：解：（1）作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；

（2）延长AO交圆于E，连接OB′，B′E．
∵BB′⊥CD
∴

BD

=

B′D

，
∵∠AOD=80°，B是

AD

的中点，
∴∠DOB′=

1

2

∠AOD=40°．
∴∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°，
又∵OA=OB′，
∴∠A=

180°-∠AOB′

2

=30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB′E=90°，
∴直角△AEB′中，B′E=

1

2

AE=

1

2

×4=2，
∴AB′=

AE2-B′E2

=

16-4

=2

3

cm．

点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得∠AOB′的度数是关键．