Question

如图，在⊙O 中，直径AB交弦ED于点G，EG=DG，⊙O的切线BC交DO的延长线于点C，F是DC与⊙O的交点，连结AF．

（1）求证：DE∥BC；

（2）若OD=1，CF=，求AF的长．

Answer 1

（1）证明略；（2）

【解析】

试题分析：（1）有切线的性质得到∠ABC = 90°，又AB平分弦DE得到∠A GE= 90°，最后根据平行线的判定即可；

（2）连接DB，AD.可以证出 △DGO∽△CBO，根据对应边成比例可以求出OG、DG；再证明△ADG∽△ADB求出AD，即可在△ADF中应用勾股定理求出AF.

试题解析：（1）证明：∵ BC为⊙O的切线，AB为直径, ∴ ∠ABC = 90°.

∵ AB平分弦DE, ∴ ∠A GE= 90°. ∴ DE∥BC.

（2）连接DB，AD.∵AB是⊙O的直径， ∴ ∠ADB = 90°.∵ DE∥ BC,

∴ △DGO∽△CBO ∴,

∵ OD = 1,CF=；

∴OC=,∴∴OG=,

∴AG=. ∵∠ADB=∠AGD= 90°，

∴ △ADG∽△ADB，∴AD2=AG.AB, ∵AG=，AB=2.

∴AD=，又∵ DF为⊙O直径,∴∠FAD = 90°,

∵DF=2，∴AF=.

考点：平行线的判定，相似三角形的性质，圆周角和切线的性质.