Question

如图（1）：点A（5，4），点B（1，-1），在x轴上求一个点P，使PA+PB最小．小芳在思考这个问题时想到两点间线段最短，所以她认为连接AB交x轴与点P，则P是所要求的点．还可以解释如下：在x轴上取另一点M（M不与P点重合），连MA，MB，由三角形的两边之和大于第三边MA+MB一定大于AB，而AB=AP+BP，所以AB与x轴的交点P是所要求的点．
（1）请你求出P点的坐标；
（2）在图（2）中，A（5，4），B（1，1）
①在x轴上求一个点P，使PA+PB最小；
②x轴上能否找到一点Q，使得QA-QB最大？如果能，请在图（3）中画出该点并说明理由；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）设AB所在的直线对应的函数解析式为y=kx+b，利用待定系数法可求出AB所在的直线对应的函数解析式，再令y=0，可得x的值，即可得出点P的坐标，
（2）①作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，即是所求点．由（1）即可得出点P的坐标，
②连接AB，并延长AB交x轴与点Q，则QA-QB=AB，在x轴上任取一点N（不与Q重合），则A，B，N三点构成三角形，有NA-NB一定小于AB，所以以上的Q点是所要求的点．

解答：解：（1）设AB所在的直线对应的函数解析式为：y=kx+b，
把点A（5，4），点B（1，-1）代入得

5k+b=4 k+b=-1

，解得

k= 5 4 b=- 9 4

，
所以AB所在的直线对应的函数解析式为：y=

5

4

x-

9

4

，
令y=0，解得x=

9

5

，即点P（

9

5

，0），
（2）①如图2，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，即是所求点．

∵B（1，1），
∴B′（1，-1），
由（1）可得点P（

9

5

，0），
②在x轴上能找到一点Q，使得QA-QB最大，
如图3，连接AB，并延长AB交x轴与点Q，则QA-QB=AB，在x轴上任取一点N（不与Q重合），则A，B，N三点构成一个三角形，有NA-NB一定小于AB，
所以以上的Q点是所要求的点．

点评：本题主要考查了一次函数的综合题，解题的关键是能理解对称性质及三角形三边关系．