Question

（本小题满分6分）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=，tan∠ADC=2．

【小题1】（1）求证：CD是半圆O的切线
【小题2】（2）求半圆O的直径；
【小题3】（3）求AD的长.

Answer 1

【小题1】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，∴∠1＝∠2.
∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A.
在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠1＝90°.
∴∠ADC＋∠2＝90°. ∴∠CDO＝90°.
∵OD为半圆O的半径，
∴CD为半圆O的切线.
【小题2】（2）解：如图，连接DE.
∵BE为半圆O的直径，
∴∠EDB＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.
∴∠ADC＝∠3.
∴.
∴.
∴.
【小题3】（3）解：作CF⊥AD于点F，∴AF＝DF.
设，
∵，∴CF＝2x.
∵∠1＋∠FCB＝90°，
∴.
∴. ∴FB＝4x.
∴BD＝3 x＝. 解得.
∴AD＝2DF＝2x＝

解析