题目内容
如图，ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M，引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连接PR，MQ相交于N，求证：| PN |
| NR |
| BM |
| MA |
分析：先根据A、B、C、D四点共圆，可得出M、R、D、Q四点共圆，M、P、C、Q四点共圆，再在△RMN及△PMN中利用余弦定理即可得出PN、NR、BM、MA的关系式，进而可得出结论．
解答：证明：∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）
∵MR⊥AD、MQ⊥CD，
∴M、R、D、Q四点共圆，
∴∠RMN=180°-∠D；
∵MP⊥BC、MQ⊥CD，
∴M、P、C、Q四点共圆，
∴∠PMN=180°-∠C，
△RMN中使用正弦定理：
=
△PMN中使用正弦定理：
=
∵sin∠RNM=sin∠PNM，
∴
=
=
∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D，RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C，
∴
=
=
=
，
∴
=
．
∴∠RAM=180°-∠C，∠PBM=180°-∠D（圆内接四边形的对角互补）
∵MR⊥AD、MQ⊥CD，
∴M、R、D、Q四点共圆，
∴∠RMN=180°-∠D；
∵MP⊥BC、MQ⊥CD，
∴M、P、C、Q四点共圆，
∴∠PMN=180°-∠C，
△RMN中使用正弦定理：
| RN |
| sin∠RMN |
| RM |
| sin∠RNM |
△PMN中使用正弦定理：
| PN |
| sin∠PMN |
| PM |
| sin∠PNM |
∵sin∠RNM=sin∠PNM，
∴
| PN |
| RN |
| PM×sin∠PMN |
| RM×sin∠RMN |
| PM×sin∠C |
| RM×sin∠D |
∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D，RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C，
∴
| PN |
| RN |
| PMsin∠C |
| RM×sin∠D |
| MB×sin∠D×sin∠C |
| MA×sin∠C×sin∠D |
| MB |
| MA |
∴
| PN |
| NR |
| BM |
| MA |
点评：本题考查的是四点共圆问题、余弦及正弦定理，难度较大．
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