Question

【题目】如图，在中，，，于点，是的中点，连结交于点.

（1）与全等吗？请说明理由.

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）全等，理由见解析；（2）

【解析】

（1）根据垂线的定义可证∠BDC=∠ADC=90°，证明∠DCB=∠DBC =45°，根据等角对等边证明BD=DC，根据等腰三角形三线合一证明BE⊥AC，然后根据同角的余角相等可证∠ACD=∠ABE，利用AAS可证与全等；

（2）由全等三角形的性质可得AD=DF=1，设BD=DC=x，则BC=AB= x +1，在Rt△BDC中根据勾股定理求得x的值即可.

解：（1）△ACD与△FBD全等．理由如下：
∵CD⊥AB于点D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，
△BDC中，∵∠BDC=90°，∠DBC=45°，
∴∠DCB=∠DBC =45°，
∴BD=CD．

∵，是的中点

∴BE⊥AC

∴∠A+∠ABE=90°，

∴∠ACD=∠ABE,

在△ACD与△FBD中，

∵

∴△ACD≌△FBD(ASA);

（2）∵△ACD≌△FBD，，

∴AD=DF=1,

设BD=DC= x，则BC=AB= x +1，

在Rt△BDC中根据勾股定理

即

解得（负值已经舍去），

所以.