Question

如图，已知点A(−3，5)在抛物线y=x²+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向正方向运动，连结AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连结AQ、BQ．

1.求抛物线的解析式；

2.当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？

3.试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．

 

Answer 1

 

1.

2.2或

3.和4

解析:解：（1）把A（−3，5）代入得：5=´9+c，··········· 1’

∴c=．                                 2’

（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MN⊥y轴，

可证△AMQ∽△QNB．

∵AM=AC−MC=，MQ=3，

∴．

设B（3k，2k+），

代入抛物线解析式得：k=，即B（，）．·········· 3’

∴直线AB的解析式为：．

∴OP=，∴PQ=2．······················· 4’

②若AQ⊥AB，

∵AC∥PQ，可证△AMQ∽△QAP，

又由勾股定理得AQ=．

∴PQ=．········· 6’

∴对应的时刻t为：2或．

（3）①若AC=BD，AP=BP，

此时点A与点B关于y轴对称，

∴OP=AC=5，

∴PQ=4．·························· 8’

②若AC=AP，

设P（0，y），则：9+(y−5)²=25，

解之得，y=1，即OP=1．

∴PQ=．··························· 9’

此时，直线AP解析式为：．

与抛物线的交点B为（，），

∴PB==BD．···················· 10’

∴满足条件的时刻为：和4