Question

如图，已知直线l的解析式为，抛物线y = ax²＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D 三点．
（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；
（2）已知点 P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E, 延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数， 并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；
（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．

Answer 1

（1），（–4，0），作图见解析；（2），其中–4 < x < 0，12，（–2，2）；（3）证明见解析.

试题分析：（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由y = ax²＋bx＋2经过B（2，0），D ，将两点坐标分别代入得关于a，b的二元一次方程组，解之即可得抛物线的解析式为；将A（m，0）代入所求解析式即可求出m，得到A点的坐标描点作出函数图象.
（2）根据得到四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数；应用二次函数最值原理求出S的最大值及S最大时点P的坐标.
（3）应用待定系数法求出PB所在直线的解析式，设出上的任一点的坐标，求出其关于x轴的对称点的坐标，代入PB所在直线的解析式，满足即得结论.
试题解析：（1）∵y = ax²＋bx＋2经过B（2，0），D ，
∴，解得
∴抛物线的解析式为.
∵A（m，0）在抛物线上，∴，解得.
∴A（–4，0）.
作抛物线的大致图象如下：

（2）∵由题设知直线l的解析式为，∴.
又∵AB=6，∴.
∴将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数为，其中–4 < x < 0.
∵，
∴S_最大= 12，此时点P的坐标为（–2，2）.

（3）∵ 直线PB过点P（–2，2）和点B（2，0），
∴PB所在直线的解析式为.
设Q是上的任一点，则Q点关于x轴的对称点为.
将代入显然成立.
∴直线l上任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在的直线上   .