Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．
（1）若∠A=30°，求线段CE的长；
（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若CE=1，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）连接BE，点D是AB中点且DE⊥AB，BE=AE，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE的长
（2）连接BE，则AE=BE=6-y，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+y²=（6-y）²，整理即可得出y关于x的函数解析式，根据y=3-

x2

12

≥0，即可求得定义域．
（3）此题有两种情况：一是当点E在线段AC上时，由（2）得1=3-

x2

12

，解得x即可，二是当点E在AC延长线上时，AE=BE=7，由勾股定理得BC²+CE²=BE²即x²+1²=7²．解得x即可．

解答：解：（1）连接BE，点D是AB中点且DE⊥AB，
∵∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE=∠BAE=30°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
又∵∠C=90°，∴CE=

1

2

BE=

1

2

AE，
∵AC=6，∴BE=AE=4，CE=

1

2

BE=

1

2

×4=2
答：线段CE的长为2；

（2）连接BE，则AE=BE=6-y，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+y²=（6-y）²，
解得y=3-

x2

12

，
得y=3-

x2

12

≥0，解得（0＜x≤6）
答：y关于x的函数解析式是y=3-

x2

12

；定义域是0＜x≤6．

（3）当点E在线段AC上时，由（2）得1=3-

x2

12

，
解得x=2

6

（负值已舍）
当点E在AC延长线上时，AE=BE=7，
在Rt△BCE中，由勾股定理得BC²+CE²=BE²，即x²+1²=7²．
解得x=4

3

（负值已舍）．
综上所述，满足条件的BC的长为2

6

，4

3

．
答：若CE=1，BC的长为2

6

和4

3

．

点评：此题主要考查学生对勾股定理、线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，此题涉及到知识点较多，综合性较强，是一道难题．