Question

二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，其顶点P的坐标为（-3，2）．
（1）求这二次函数的关系式；
（2）求△PBC的面积；
（3）当函数值y＜0时，则对应的自变量x取值范围是______．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点P的坐标为（-3，2），
∴设抛物线解析式为顶点式y=a（x+3）²+2（a≠0），
把点A（1，0）代入，得
a（1+3）²+2=0，
解得，a=-，
则抛物线的解析式为：y=-（x+3）²+2；

（2）∵二次函数y=-（x+3）²+2的图象与x轴交于A（1，0）、B两点，顶点P的坐标为（-3，2），
∴点B的横坐标是2×（-3）-1=-7，则B（-7，0）．
令x=0，则y=，
∴C（0，）．
易求直线BC的解析式为：y=x+．
∴当x=-3时，y=，
∴PD=2-=2.5，
∴△PBC的面积=PD•OB=×2.5×7=8.75；

（3）根据图示知，当函数值y＜0时，则对应的自变量x取值范围是 x＜-7或x＞1．
分析：（1）设抛物线解析式为顶点式y=a（x+3）²+2（a≠0），然后把点A的坐标代入即可求得a的值；
（2）由抛物线的解析式可以求得点B的坐标，然后由三角形的面积公式进行解答；
（3）根据抛物线的性质进行填空．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．