Question

【题目】如图1，两个等腰，有公共顶点，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、，延长，交于．

（1）求证：；

（2）将图1中的绕点顺时针旋转，连接，是的中点，连接、、，延长交于，连接，如图2，求证：．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．

【解析】

（1）如图，延长AB交CF于点G，证明BM为△AGF的中位线即可；

（2）延长AB交CE于点D，连接DF，易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，再说明BM为△A GF的中位线，得到BM=DF；同理可得ME=AG；然后再证明△ACG≌△DCF（SAS），通过全等三角形的性质可得DF=AG,进而得到BM=ME．

解：（1）如图：延长AB交CF于点G，

由题意可得：△ABC与△ BCG均为等腰直角三角形

∴AB=BC=BG

∴点B为线段AG的中点，

又∵点M为线段AF的中点，

∴BM为△AGF的中位线，

∴ BM//CF．

(2)如图，延长AB交CE于点D，连接DF，易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，

∴点B为AD中点，

又∵点M为AF中点，

∴BM=DF

同理：ME=AG

在△ACG与△DCF中，

AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°，CG=CF

.∴△ACG≌△DCF（SAS），

∴DF=AG，

∴BM=ME．