Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的圆分别交AB和BC于E、D两点，AD与EC交于G点．过点D作DF⊥AB交AB于F，交AC的延长线于H．
（1）求证：FH为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BC=4，求DG．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接OD，由AC为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC=90°，又由AB=AC，可得BD=CD，继而可得OD是△ABC的中位线，即可得OD∥AB，由DF⊥AB，则可证得OD⊥FH，则可得FH为⊙O的切线；
（2）易证得△CGD∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DG．
解答：解：（1）连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD∥AB，
∵HF⊥AF，
∴OD⊥FH，
∴FH为⊙O切线；

（2）∵AC=6，BC=4，
∴CD=BC=2，
∵∠ADC=90°，AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴∠GCD=∠CAD，
∴△CGD∽△ACD，
∴，
∴CD²=GD•AD，
在Rt△ADC中，，
∴4=GD•4，
∴GD=．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质与判定、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．