Question

如图所示，四边形ABCD内接于圆，若AB=AC，且∠ABD=60°．求证：AB=BD＋CD．

Answer 1

答案：略
解析：

证法一：延长CD到E使DE=DB，连接AE，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ADE=∠ABC． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB． ∴∠ADB=∠ADE．在△ADB与△ADE中， ∴△ADB≌△ADE，∴AB=AE，∴AC=AE． ∵∠ABD=∠ACD=60°，∴△ACE是等边三角形． ∴AC=CE，即AB=BD＋CD． 证法二：延长BD到F，使DF=CD．∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠ABC＋∠ADC=180°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB． ∵∠ADB＋∠ADF=180°，∴∠ADC=∠ADF． △ADC与△ADF中，∴△ADC≌△ADF， ∴AC=AF，∴AD=AF．∵∠ABD=60°，∴△ABF是等边三角形． ∴AB=BD＋DF，即AB=BD＋CD．

提示：

求证的结论是一条线段等于两条线段之和，根据已知条件，四边形ABCD内接于圆，但是这样的四边形并不都会有这个结论，那么在其中起作用的应是∠ABD=60°及AB=AC．由于AC、BD是对角线，则有∠ABD=∠ACD．又因AB=AC，故问题化为证AC=BD＋CD，这时AC与CD相交于点C，且∠ACD=60°，所以这时若能使BD拼接在CD上，再证构成的三角形是等边三角形即可．