Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为B，AO交⊙O于点C，过点C作DC⊥OA，交AB于点D，连接OB、OD．已知∠A=30°，⊙O的半径为4．
（1）求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°-∠A=60°，
∵DC⊥OA，
∴CD是⊙O的切线，
∴∠BOD=

1

2

∠AOB=30°，
∵⊙O的半径为4，
即OB=4，
∴BD=OB•tan∠BOD=4×

3

3

=

4

3

3

；

（2）∵在Rt△AOB中，∠A=30°，OB=4，
∴AB=

OB

tan∠A

=4

3

，
∴AD=AB-BD=

8

3

3

，
∵DC⊥OA，
∴CD=

1

2

AD=

4

3

3

，
∴AC=

AD2-CD2

=4，
∴S_阴影=S_△AOB-S_△ACD-S_扇形OBC=

1

2

×4×4

3

-

1

2

×4×

4

3

3

-

60×π×42

360

=

16

3

3

-

8

3

π．