题目内容

如图，AB=2AC，BD=2AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD= $数学公式$ BD，设BD=m，求BC的长．

证明：（1）∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2，
∴△ABD∽△CAE；

（2）∵AB=2AC=2BD=2m，AD= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ，
∴AD²+BD²=3m²+m²=4m²=AB²，
∴∠D=90°
∵△ABD∽△CAE，
∴∠E=∠D=90°，
∵AE= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ，EC= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ，AB=2BD=2m，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²=（2m+ $\text{[math]}$ m）²+（ $\text{[math]}$ m）²=7m²，
∴BC= $\text{[math]}$ m．
分析：（1）由BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上可得出∠DBA=∠CAE，再由AB=2AC，BD=2AE即可得出结论；
（2）由AC=BD，AD= $\text{[math]}$ BD，BD=m可知AB=2AC=2BD=2m，AD= $\text{[math]}$ BD= $\text{[math]}$ ，在RtABD中利用勾股定理可用m表示出AB的值，由（1）中△ABD∽△CAE可知∠E=90°，进而用m表示出AE、CE的长，再利用勾股定理即可求出BC的长．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意判断出△ABD∽△CAE，再根据相似三角形的对应边成比例用m表示出AE、AB、CE的长是解答此题的关键．