Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．F是腰AB上的一点，且EF⊥AB、连接DE，DF．
（1）求证：△BEF∽△BAG；
（2）当点E在线段BC上运动时，设BE=x．△DEF的面积为y．①请你求出y和x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②求当x为何值时，y有最大（小）值．

Answer 1

（1）∵AG⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AGB=∠EFB=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAG；

（2）∵△BEF∽△BAG，
∴BF=

3

5

x，EF=

4

5

x，
作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，
∴

DM

4

=

4

5

，
∴DM=

16

5

，
∴S_△DAF=8-

24

25

x，
∵S_梯形ABCD=28，S_△DEC=20-2x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△BEF-S_△DEC-S_△DAF=-

6

25

x²+

74

25

x，
∵当点F于点A重合时BF最长，此时

3

5

x=5，解得x=

25

3

，
∴0＜x≤

25

3

，
∴当x=

37

6

，y有最大值．