题目内容

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM∥AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式．

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵AM⊥AN，
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD= $\text{[math]}$ MN，
在Rt△ABC中， $\text{[math]}$ ，
又∵△AMN∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；
过M作MQ⊥BC于Q，则 $\text{[math]}$ ；
则△BMQ∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；

∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ；

（3）∵∠A=90°，PM∥AC，∠MPN=90°，
∴四边形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x；
又∵四边形BFNM是平行四边形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
又Rt△PEF∽Rt△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵S_△AMN=S_△PMN∴ $\text{[math]}$ （0≤x≤8）．
分析：（1）由已知条件证明△AMN∽△ABC（AA），然后根据相似三角形的对应边成比例求得 $\text{[math]}$ ，然后由三角形的面积公式求得用x的代数式表示的△AMN的面积S；
（2）设BC与⊙O相切于点D，连接AO、OD，则AO=OD= $\text{[math]}$ MN．在直角三角形Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC的值；然后根据相似三角形的性质求得OD；再过M作MQ⊥BC于Q，构建△BMQ∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例解得x的值；
（3）由已知条件证明四边形AMPN是矩形，根据矩形的性质求得PN=AM=x；然后由平行四边形BFNM的性质解得FN=8-x，PF=2x-8；最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性质求得S_△PEF值；最后利用“割补法”求得题型的面积．
点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及切线的性质．解答此题时，还借用了直径所对的圆周角是直角的性质．