题目内容

已知，如图A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，点E为x轴上一个动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为D，交y轴于N点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设点E（t，0），△BEN的面积为S，请求出S与t的函数关系式；
（3）已知点F是抛物线y=ax²+bx+c上的一动点，点G是坐标平面上的一动点，在点E的移动过程中，是否存在以点B、E、F、G四点为顶点的四边形是正方形，若存在，请求出E点的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，则
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∵BD⊥CD，
∴∠BDE=90°，
∵∠BED=∠CEO，
∴∠OBN=∠OCE，

∴△COE≌△BON，
∴ON=OE，
∴当0≤t≤3时，S=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，
当t＞3时，S= $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t，
当t＜0时，S= $\text{[math]}$ t²- $\text{[math]}$ t；

（3）∵四边形BEFG是正方形，
∴BE=EF，
当F在x轴下方时，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴（3-a）=-（a²-2a-3），
解得：a₁=0，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（0，0），
当F在x轴上方时，设F（a，a²-2a-3），E（a，0），
∴3-a=a²-2a-3，
∴a₁=-2，a₂=3（不符合题意，舍去），
∴E（-2，0），
综上所述，E（0，0）或（-2，0）．
分析：（1）由抛物线过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，由待定系数法可以直接求出抛物线的解析式；
（2）由条件可以证明△COE≌△BON，可以求得ON=OE，分3种情况表示出S与t的函数关系式；
（3）在移动的过程中，由四边形BEFG是正方形，且点F在抛物线上就有BE=EF，设出点F的坐标，从F在x轴的下方和上方就可以求出F的横作标，就求出了E的坐标．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质．