Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是△BAC的∠ACB的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB相交于点E，连接DE．
求证：AC=AE．

Answer 1

证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AD为圆的直径，
∴∠AED=90°，
∵AD是△BAC的∠CAB的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
Rt△ACD与Rt△ADE中，
∠CAD=∠BAD，∠ACB=∠AED，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△ADE，
∴AC=AE．
分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，可得AD是直径，可得△ADE为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS可得两三角形全等，得到答案．
点评：本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定及性质；题目中由直角三角形得到AD是圆的直径，从而得到△AED为直角三角形是正确解答本题的关键．