Question

已知抛物线L：

（1）证明：不论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上；

    （2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B，求A、B间距取得最大值时k的值；

（3）在（2）A、B间距取得最大值条件下（点A在点B的右侧），直线y=ax+b是经过点A，且与抛物线L相交于点D的直线. 问是否存在点D，使△ABD为等边三角形，如果存在，请写出此时直线AD的解析式；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）见解析（2）2（3）存在，理由见解析

解析:（1）抛物线L的顶点坐标C是（，）……2分

将顶点坐标C代入

左边=

右边==  

左边=右边

所以无论k取何值，抛物线L的顶点C总在抛物线上. ……3分

（2）已知时，抛物线L和x轴有两个不同的交点A、B

设，，

依题意    ……5分

由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，

而k=-2恰好在内，

所以A、B间距取得最大值时k的值为2   ……8分

(3)存在。        ……9分

因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点..

 

当k=-2时，抛物线L为  ，顶点D（-2，-3）

解方程，得，

所以（），（）

如图，在△ABD中，DB=DA

D为AB中点， AB=，

∴AD=，

∴∠BAD=60°

∴△ABD为等边三角形    ……12分

因为直线在（）、D（）D，所以依题意

把k=2代入

解得，

所以所求为……14分

（2）方法二：设，，

由根与系数关系，得，  ……6分

[来源:学,科,网Z,X,X,K]

 

由此可知，当k=-2时，AB达到最大值，

而k=-2恰好在内，

所以A、B间距取得最大值时k的值为2   ……8分

（1）利用顶点坐标求证

（2）设，，求出AB 的长，从而求出k的值

（3）因为若△ABD是等边三角形，则点D应在线段AB的垂直平分线上，即在此抛物线的对称轴上。又因为点D在抛物线上，所以若满足条件的D存在，点D应是此抛物线的顶点，通过AB的长求出AD的长，通过（）、D（），求出直线AD的解析式