Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=

3

5

，分别以AB、AD、CD为半径向外做半圆，四边形EFGH的一边FG与BC在同一条直线上，其余三边与半圆相切，且分别与梯形ABCD的边平行，则四边形EFGH的周长是

68

．

Answer 1

分析：首先过点D作DR⊥BC于点R，过点H作HK⊥BC于点K，设CD的中点为O，GH与半圆O相切于点M，连接OM．易证得四边形ABRD是矩形，四边形EFKH是矩形，又由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=

3

5

，可求得CD的长，由切线的性质，可求得EF与BF的长，继而求得GH的长，又由平行四边形的面积，可求得CG的长，继而求得答案．

解答：解：如图，过点D作DR⊥BC于点R，过点H作HK⊥BC于点K，设CD的中点为O，GH与半圆O相切于点M，连接OM．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴AB∥DR，
∴四边形ABRD是矩形．
∴DR=AB=6．
又∵sin∠BCD=

3

5

，
∴

DR

CD

=

3

5

，
∴CD=10．
∴CR=

CD2-DR2

=8，
∴BC=AD+CR=8+8=16，
∵以AB为直径的圆与EF相切，EF∥AB∥HK，
∴四边形EFKH是矩形，
∴EH=FK，KH=EF，
∴BF=

1

2

AB=3．
同理：EF=AB+

1

2

AD=10．
∵CD∥GH，
∴∠G=∠BCD，
∴sin∠G=

3

5

，
∵HK=EF=10，
∴GH=

HK

sin∠G

=

50

3

，GK=

40

3

，
∵OM⊥GH，OM=

1

2

CD=5，
∵CG•HK=GH•OM，
∴CG=

GH•OM

HK

=

25

3

，
∴CK=GK-CG=5，
∴RK=CR-CK=3，
∴EH=FK=BF+BR+RK=3+8+3=14，FG=FK+GK=14+

40

3

=

82

3

，
∴四边形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=10+

82

3

+

50

3

+14=68．
故答案为：68．

点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．