Question

【题目】在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（4，3），动点M，N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP．下列说法①当点M运动了2秒时，点P的坐标为（2， ）；②当点M运动 秒时，△NPC是等腰三角形；③当点N运动了2秒时，△NPC的面积将达到最大值．其中正确的有 ．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：A（4，0），C（0，3），

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+3，

当t=2时，OM=2，

∴x=2时，y=﹣ +3= ，

∴点P的坐标为（2， ），故①正确，

当t= 时，OM= ，

∵CN=4﹣ = ，

延长MP交BC于E，则四边形OMEC是矩形，

∴∠CEM=90°，

∴PE⊥CN，CE=OM= ，

∴CE=EN= ，

∴PC=PN，

∴△PCN是等腰三角形，故②正确，

易知S△PCN= （4﹣t）×[3﹣ （4﹣t）]=﹣ （t﹣2）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴t=2时，△PCN的面积最大，故③正确，

所以答案是①②③

【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．