题目内容

如图所示，直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4），点P为双曲线 $数学公式$ （x＞0）上的一点，点P分别作x轴、y轴的垂线段PE、PF，当PE、PF分别与线段AB交于点C、D时．
（1）AB=；
（2）AD•BC=．

解：（1）∵直线AB与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴由勾股定理得AB= $\text{[math]}$ =5，；

（2）：设直线AB的解析式是y=kx+b，
则： $\text{[math]}$
解得：
则直线的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x+4．
设P的坐标是（m， $\text{[math]}$ ），在y=- $\text{[math]}$ x+4中，令y= $\text{[math]}$ ，解得：x=3- $\text{[math]}$ ，故D的坐标是（3- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
在y=- $\text{[math]}$ x+4中，令x=m，解得：y=4- $\text{[math]}$ m，则C的坐标是：（m，4- $\text{[math]}$ m）．
则AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ m，
则AD•BC= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ．
故答案是：5， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接利用勾股定理求得AB的长即可；
（2）首先求得直线AB的解析式，然后设P的坐标是（m， $\text{[math]}$ ），据此即可求得线段AD、BC的长，从而求解．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．