题目内容
【题目】综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，菱形
的顶点
在
轴上，反比例函数
（
）的图象经过点
，并与线段
交于点
，反比例函数
（
）的图象经过点
，
交
轴于点
．已知
．
（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；
（2）直接写出点的坐标 ；
（3）如图2，点
是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点
，设点的坐标为
①当
时，求
的值；
②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使
？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）D（4，4）；
（x>0）；（2）E（-3，
）；（3）①m=5；②存在，P点坐标为（0，4+
）或（0，4-）.
【解析】
（1）把A（-1，a）代入
，可求出a的值，即可得A点坐标，根据B点坐标，利用勾股定理可求出AB的长，根据菱形的性质可知AB=AD，即可得D点坐标，把D点坐标代入
（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根据A、B坐标可得直线AB的解析式，联立即可求出E点坐标；（3）①由MN//x轴，P（0，m），可得M、N的坐标为M（
，m），N（
，m），根据MN=OB列方程即可求出m的值；②根据坐标可求出AE的长，即可得AP的长，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的长，即可得答案.
(1)过A作AQ⊥x轴于Q，
∵A在反比例函数上，
∴a=
=4，
∴A点坐标为（-1，4），
又∵B（-4，0），
∴BQ=3，
∴AB=
=5，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=5，
∴D（4，4），
又∵D在反比例函数（x>0）上，
∴k=4×4=16，
∴反比例函数的表达式为
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,代入A、B坐标得：
，
解得
，
∴直线AB的解析式为y=x+
，
联立反比例函数y=
得
，
解得：
，
（舍去）
∴E点坐标为（-3，），
（3）①∵B（-4，0）
∴OB=4，
∵MN//x轴，P（0，m），
∴M（，m），N（，m）
∴
∵MN=OB
∴MN=
=4
∴m=5
②∵A（-1，4），E（-3，），
∴AE=
=
，
∴AP=AE=，
∵G（0，4），
∴AG=1，
∴PG=
=
=
=，
∴m=4+或m=4-，
∴存在某一时刻，使
，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.
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【题目】为了传承优秀传统文化，我市组织了一次初三年级1 200名学生参加的“汉字听写”大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩(满分50分)，整理得到如下的统计图表：
成绩(分) | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
人数 | 1 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 5 | 8 | 15 | 9 | 11 | 12 | 8 | 6 | 4 |
成绩分组 | 频数 | 频率(百分比) |
35≤x<38 | 3 | 0.03 |
38≤x<41 | a | 0.12 |
41≤x<44 | 20 | 0.20 |
44≤x<47 | 35 | 0.35 |
47≤x≤50 | 30 | b |
请根据所提供的信息解答下列问题：
(1)频率统计表中a＝________，b＝_______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)请根据抽样统计结果，估计该次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？