Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE=2，tanC=

1

2

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OD，利用D是AC中点，O是AB中点，那么OD就是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，则∠DEC=90°，利用平行线的性质，有∠ODE=∠DEC=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，由于AB是直径，那么∠ADB=90°，即BD⊥AC，在△ABC中，点D是AC中点，于是BD是AC的垂直平分线，那么BA=BC，在Rt△CDE中，DE=2，tanC=

1

2

，可求CE=4，再利用勾股定理可求CD=2

5

，同理在Rt△CDB中，CD=2

5

，tanC=

1

2

，可求BD=

5

，利用勾股定理可求BC=5，从而可知BA=BC=5．

解答：（1）证明：连接OD．
∵D为AC中点，O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE于点D，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接DB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB=90°
∵D为AC中点，
∴AB=BC，
在Rt△DEC中，
∵DE=2，tanC=

1

2

，
∴EC=

DE

tanC

=4，
由勾股定理得：DC=2

5

，
在Rt△DCB中，BD=DC•tanC=

5

，
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=BC=5，
∴⊙O的直径为5．

点评：本题主要是作出合适的辅助线．利用了三角形中位线的判定和性质、平行线的性质、切线的判定、直径所对的圆周角等于90°、三角函数值、勾股定理．