Question

（1）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

Answer 1

分析：（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
（2）先过点O作OD⊥AB于点D，交

AB

于点F，连接OA，有垂径定理可求出AD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出DF的长．

解答：解：（1）根据题意得出：
y=（60-40+x）（300-10x），
=-10

x

2

+100x+6000，
=-10（x-5）²+6250，
当x=5时，y有最大值．
60+5=65元，
答：每件定价为65元时利润最大．
根据每涨价1元，每星期要少卖出10件，所售件数是（300-10x）件，
300-10x≥0，
x≤30，
得出自变量x的取值范围是：0≤x≤30；

（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，交

AB

于点F，连接OA，
∵AB=600mm，
∴AD=300mm，
∵底面直径为650mm，
∴OA=

1

2

×650=325mm，
∴OD=

OA2-AD2

=

3252-3002

=125mm，
∴DF=OF-OD=

1

2

×650-125=200mm．
故油的最大深度为200mm．

点评：本题考查的是二次函数的应用中最值问题一般的解决方法是转化为函数问题以及垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．