Question

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点。P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D。

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。（不必写解答过程）

Answer 1

解：（1）由题意得CM=BM， ∵∠PMC=∠DMB， ∴Rt△PMC≌Rt△DMB， ∴DB=PC， ∴DB=2-m，AD=4-m， ∴点D的坐标为（2，4-m）。
（2）分三种情况 ①若AP=AD，则4+m2=（4-m）2，解得 ②若PD=PA 过P作PF⊥AB于点F（如图）， 则AF=FD=AD=（4-m） 又OP=AF ∴ ∴。 ③若PD=DA， ∵△PMC≌△DMB， ∴PM=PD=AD=（4-m）， ∵PC2+CM2=PM2， ∴ 解得（舍去） 综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或。
（3）点H所经过的路径长为。