Question

(1)在△ABC中，AB＝m²－n²，AC＝2mn，BC＝m²＋n²(m＞n＞0)．

求证：△ABC是直角三角形；

(2)已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AD、BC的中点，若AB＝m²－n²，CD＝2mn，AD＝n²，BC＝m²＋2n²，(m＞n＞0)．

求证：EF＝(m²＋n²)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵AB＝m2－n2，AC＝2mn，BC＝m2＋n2，(m＞n＞0) 　　∴AB2＝m4－2m2n2＋n4 　　AC2＝4m2n2 　　BC2＝m4＋2m2n2＋n4(2分) 　　∴BC2＝AB2＋AC2(3分) 　　∴△ABC是直角三角形(4分) 　　(2)过点E作EG∥AB交BC于点G，过点E作EH∥CD交BC于点H 　　∵EG∥AB；AD∥BC 　　∴四边形ABGE是平行四边形 　　∴AE＝BG，EG＝AB(5分) 　　同理可证ED＝HG，EH＝CD 　　∴AD＝BG＋HG 　　∵AB＝m2－n2，CD＝2mn，AD＝n2，BC＝m2＋2n2， 　　∴EG＝m2－n2，EH＝2mn，GH＝m2＋n2 　　∴EG2＋EH2＝GH2(6分) 　　∴△EGH是直角三角形(7分) 　　又点E、F分别是AD、BC的中点 　　∴AE＝DE，BF＝CF 　　∴BG＝CH 　　∴BF－BG＝CF－FH 　　∴GF＝HF 　　即点F是Rt△EGH的斜边GH上的中线(8分) 　　∴EF＝GH(9分) 　　∴EF＝(m2＋n2)(10分)