Question

【题目】如图，在已知中，分别是的中点，求证.

利用第题的结论，解决下列问题:

如图，在四边形中，，点分别在上，点分别为的中点，连接，求长度的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

(1)延长DE到F,使得DE=EF,再证明△ADE≌△CFE,得出AD=CF和AB∥CF,则四边形DBCF为平行四边形,从而证明.

(2)连接DM,当DM最大时,EF就最大,M与B重合DM最大,算出即可.

(1)延长DE到F,使得EF=DE,连接CF.

∵D、E是AB、AC的中点,

∴AD=BD,AE=CE.

∵∠AED=∠CEF,EF=DE,

∴△ADE≌△CFE(SAS)

∴CF=AD,∠DAE=∠FCE

∴BD=CD,AB∥CF,

∴四边形DBCF为平行四边形,

∴DF=BC,

∵

∴.

(2)

连接DM,

∵点E,F分别为MN,DN的中点,

∴EF=DM,

∴DM最大时,EF最大,

∵M与B重合时DM最大,

此时DM=DB=,

∴EF的最大值为3.