Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上且横坐标为2．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；

（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点坐标为或；（3）

【解析】

（1）由抛物线与x轴两交点设交点式，把点C代入即求得抛物线表达式；

（2）由原抛物线顶点式可知，向下平移4个单位后顶点落在x轴上，故MN＝4且MN⊥x轴．由于△AMN为等腰三角形且MN为底边，故有x轴垂直平分MN，得到点N纵坐标为﹣2，代入新抛物线解析式解方程即求得点N横坐标．

（3）作点D关于y轴的对称点D'，根据轴对称性质即有QD＝QD'，易得当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小．由于点E随点P运动也是一个动点，由∠OEB＝90°且O、B是定点可得点E的运动轨迹为圆弧．故当点E运动到点D'与圆心所连线段上时，D'E最小．求出圆心F的坐标，即求出D'F和半径r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即为QE+QD的最小值．

解：（1）抛物线与轴交于、，

设交点式为，

抛物线经过点，

解得：，

抛物线表达式为

（2）

向下平移后新抛物线为，顶点，即抛物线向下平移4个单位

原抛物线上一点平移后的对应点为点N，

，轴

是以为底边的等腰三角形，且点在轴上

轴垂直平分，

的纵坐标为

在新抛物线为上，

，

解得：，

点坐标为或．

（3）如下图所示，作点关于轴的对称点点，连接，取中点，连接，

点D在抛物线上且横坐标为2，点为轴上的动点，

，，

当点、、在同一直线上时，最小，

于点，为抛物线上第一象限内的动点，

点在以为直径的圆在第一象限内的弧上运动，

圆心，，

当点在线段上时，最小，

的最小值为．