Question

设ab≠0，且函数f₁（x）=x²+2ax+4b与f₂（x）=x²+4ax+2b有相同的最小值u；函数f₃（x）=-x²+2bx+4a与f₄（x）=-x²+4bx+2a有相同的最大值v；则u+v的值（　　）

• A、必为正数
• B、必为负数
• C、必为0
• D、符号不能确定

Answer 1

分析：本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f₁（x）与f₂（x）有相同的最小值u；f₃（x）与f₄（x）有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题．

解答：解：∵f₁（x）=x²+2ax+4b=（x+a）²+4b-a²≥4b-a²，
f₂（x）=x²+4ax+2b=（x+2a）²+2b-4a²≥2b-4a²，
已知4b-a²=u=2b-4a²，得-2b=3a²①
∵ab≠0，
∴b＜0，
又∵f₃（x）=-（x-b）²+4a+b²≤4a+b²，
f₄（x）=-（x-2b）²+2a+4b²≤2a+4b²；
已知4a+b²=v=2a+4b²，得2a=3b²，②
∵ab≠0，
∴a＞0，
∴3a-3b+2＞0，
∴②-①得，2（a+b）=3（b²-a²），
解得a+b=0或b-a=

2

3

（舍去），
当a+b=0时，2（u+v）=（6b-5a²）+（6a+5b²）=（a+b）[6+5（b-a）]=0，
∴u+v=0，
故选C．

点评：本题考查了二次函数的最值，难度较大，做题时关键是将函数的标准形式化为顶点形式．