Question

如图，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S．
（1）求点B坐标和k的值．
（2）当S=

9

2

时，求P的坐标．
（3）写出S关于m的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）根据S=n（m-AO）即可得到方程求解；
（3）根据S=n（m-AO）即可写出函数解析式．

解答：解：（1）∵正方形OABC的面积为9，
∴OA=OC=3，
∴B（3，3）．
又∵点B（3，3）在函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)的图象上，
∴k=9．

（2）分两种情况：①当点P₁在点B的左侧时，
∵P₁（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴则S=m（n-3）=

9

2

∴m=

3

2

，
∴n=6．
∴P₁（

3

2

，6）；
②当点P₂在点B或B的右侧时，
∵P₂（m，n）在函数y=

k

x

上，
∴mn=9．
∴S=n（m-3）=mn-6n=

9

2

∴n=1.5，
∴m=6．
∴P₂（6，1.5）．

（3）当0＜m＜3时，S=9-3m；
当m≥3时，当x=m时，P的纵坐标是

9

m

，
则与矩形OEPF中和正方形OABC重合部分是边长是3，宽是

9

m

的矩形，
则面积是：

27

m

，
因而S=9-

27

m

．

点评：本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键．