Question

小明对数学很有兴趣，一日看到一则计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

97×99

后，
分析：

1

n(n+2)

=

1

2

×

2

n(n+2)

=

1

2

×

(n+2)-n

n(n+2)

=

1

2

(

n+2

n(n+2)

-

n

n(n+2)

)=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)得：

1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +…+ 1 97×99 = 1 2 (1- 1 3 )+ 1 2 ( 1 3 - 1 5 )+ 1 2 ( 1 5 - 1 7 )+…+ 1 2 ( 1 97 - 1 99 ) = 1 2 (1- 1 3 + 1 3 - 1 5 + 1 5 - 1 7 +…+ 1 97 - 1 99 )

=

1

2

(1-

1

99

)=

1

2

×

98

99

=

49

99

试求：（1）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

98×100

（2）

1

9×13

+

1

13×17

+

1

17×21

+…+

1

97×101

．

Answer 1

分析：（1）根据题目信息，分母上的两因数的差是2，所以裂项后乘以

1

2

，然后进行计算即可；
（2）根据题目信息，分母上的两因数的差是4，所以裂项后乘以

1

4

，然后进行计算即可．

解答：解：（1）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

98×100

，
=

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

4

-

1

6

）+

1

2

（

1

6

-

1

8

）+…+

1

2

（

1

98

-

1

100

），
=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

98

-

1

100

），
=

1

2

（

1

2

-

1

100

），
=

1

2

×

98

200

，
=

49

200

；

（2）

1

9×13

+

1

13×17

+

1

17×21

+…+

1

97×101

，
=

1

4

（

1

9

-

1

13

）+

1

4

（

1

13

-

1

17

）+

1

4

（

1

17

-

1

21

）+…+

1

4

（

1

97

-

1

101

），
=

1

4

（

1

9

-

1

13

+

1

13

-

1

17

+

1

17

-

1

21

+…+

1

97

-

1

101

），
=

1

4

（

1

9

-

1

101

），
=

1

4

×

92

909

，
=

23

909

．

点评：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，根据题目提供的信息进行裂项并加减抵消是解题的关键，技巧性较强，难度中等．